BSz1 Jegyzet

7. Tétel:

Bázis és dimenzió fogalma, a dimenzió egyértelműsége. Standard bázis, Rn dimenziója. Koordinátavektor fogalma és annak egyértelműsége. Bázis létezése Rn tetszőleges alterében.

7.1. A bázis fogalma

A bázis fogalma egyesíti a korábban megismert két fontos tulajdonságot: a generátorrendszer „lefedő” erejét és a lineáris függetlenség „hatékonyságát” (vagyis a fölösleges elemek hiányát).

2.2.16. Definíció (Bázis):

A $\{\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k\} \subseteq V$ vektorrendszert a $V \le \mathbb{R}^n$ altér bázisának nevezzük, ha az alábbi két feltétel egyidejűleg teljesül:

  • 1 A vektorrendszer lineárisan független;
  • 2 A vektorrendszer generátorrendszere $V$-nek.

Szemléletesen a bázis egy olyan „optimális” készlet, amelyből semmit sem lehet elhagyni anélkül, hogy elveszítenénk az altér bizonyos pontjait, de nem is tartalmaz semmi fölösleget.

7.2. A dimenzió fogalma

Az F-G egyenlőtlenség ($k \le m$) közvetlen következménye, hogy egy altérben a bázisok mérete nem lehet tetszőleges.

2.2.17. Tétel (A dimenzió egyértelműsége):

Egy $V \le \mathbb{R}^n$ altér bármely két bázisa pontosan ugyanannyi vektorból áll.

Bizonyítási logika:

Ha $B_1$ egy $k$ elemű, $B_2$ pedig egy $m$ elemű bázis, akkor $B_1$ függetlensége és $B_2$ generátor tulajdonsága miatt az F-G egyenlőtlenség szerint $k \le m$. Mivel ez fordítva is igaz ($B_2$ független, $B_1$ generátor), ezért $m \le k$ is fennáll, amiből következik, hogy $k = m$.

Definíció: Dimenzió

A $V$ altér bázisainak (egyértelmű) elemszámát a $V$ dimenziójának nevezzük.
Jelölése: $\dim V$

Példafeladat: Dimenzió meghatározása

Feladat:

Határozza meg az $\mathbb{R}^3$ tér standard bázisának elemeit és a tér dimenzióját!

1

Standard bázisvektorok

$\underline{e}_1 = (1, 0, 0), \underline{e}_2 = (0, 1, 0), \underline{e}_3 = (0, 0, 1)$

2

Ellenőrzés

Ezek a vektorok lineárisan függetlenek (egyik sem fejezhető ki a többivel) és generálják a teljes $\mathbb{R}^3$ teret (minden vektor felírható a lineáris kombinációjukkal).

Végeredmény

Mivel a bázis 3 vektorból áll, a tér dimenziója:
$\dim \mathbb{R}^3 = 3$

7.3. A dimenzió egyértelműségének bizonyítása

2.2.19. Tétel:

Tegyük fel, hogy a $V \le \mathbb{R}^n$ altérben a $\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k$ rendszer és a $\underline{c}_1, \underline{c}_2, \dots, \underline{c}_m$ rendszer egyaránt bázisok. Ekkor $k = m$.

A tétel bizonyítása:

Mivel mindkét rendszer bázis, ezért definíció szerint mindkettő lineárisan független és mindkettő generátorrendszer $V$-ben.

1. Első irány: Tekintsük a $\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k$ rendszert mint lineárisan független halmazt, a $\underline{c}_1, \underline{c}_2, \dots, \underline{c}_m$ rendszert pedig mint generátorrendszert $V$-ben.

Alkalmazva a 2.2.15. F-G egyenlőtlenséget: $k \le m$.

2. Második irány: Ugyanezt fordított szereposztásban is elmondhatjuk: tekintsük most a $\underline{c}_1, \underline{c}_2, \dots, \underline{c}_m$ rendszert mint lineárisan függetlent és a $\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k$ rendszert mint generátorrendszert $V$-ben.

Az F-G egyenlőtlenség alapján ekkor: $m \le k$.

Ezekből az egyenlőtlenségekből a $k = m$ egyenlőség valóban következik. □

Példafeladat: Altér bázisa és dimenziója

Feladat:

Adott a $V = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$ altér.
Adja meg az altér egy bázisát és határozza meg a dimenzióját!

1. Az általános alak felírása

Az egyenletből kifejezve $x$-et: $x = -y - z$. Ezt behelyettesítve a vektorba:

$\begin{pmatrix} -y-z \\ y \\ z \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. Bázisvektorok azonosítása

A fenti lineáris kombináció alapján a bázis jelöltjei:

$B = \{ \underline{b}_1 = (-1, 1, 0), \underline{b}_2 = (-1, 0, 1) \}$

Ellenőrzés: A két vektor nem párhuzamos, tehát függetlenek, és láthatóan generálják az alteret.

Végeredmény

Mivel a bázis 2 vektorból áll, a 2.2.19. Tétel és a dimenzió definíciója alapján:
$\dim V = 2$

7.4. A dimenzió definíciója és jelentősége

Az előzőekben belátott 2.2.19. Tétel adja meg a létjogosultságot a dimenzió fogalmának: mivel minden bázis azonos elemszámú, egyetlen altérnek sem lehet „két különböző dimenziója”.

2.2.20. Definíció (Dimenzió):

Legyen a $V \le \mathbb{R}^n$ altérben a $\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k$ rendszer bázis. Ekkor azt mondjuk, hogy a $V$ dimenziója $k$. Ezt a következőképpen jelöljük:

$\dim V = k$

Gyakorlati példák az $\mathbb{R}^n$ terekben:

$\mathbb{R}^3$ dimenziója:

A tér dimenziója három, mivel a standard bázisa (vagy bármely más bázisa) 3 vektorból áll.

$\mathbb{R}^2$ dimenziója:

A sík dimenziója kettő, hiszen a nem párhuzamos vektorpárok alkotnak benne bázist.

Ez a definíció összhangban van a korábbi „naiv” szóhasználatunkkal, ahol a síkot kétdimenziósnak, a teret pedig háromdimenziósnak neveztük, de most már szigorú matematikai alapokon nyugszik.

Példafeladat: Dimenzió azonosítása

Feladat:

Egy $W \le \mathbb{R}^5$ altérről tudjuk, hogy létezik benne egy 4 elemű lineárisan független rendszer, ami egyben generátorrendszer is. Mennyi az altér dimenziója?

1. Feltételek kiértékelése

Mivel a rendszer egyszerre független és generátorrendszer, a 2.2.16. Definíció alapján ez a rendszer egy bázis.

2. Dimenzió meghatározása

A 2.2.20. Definíció szerint az altér dimenziója megegyezik a bázisának elemszámával.

Végeredmény

$\dim W = 4$

Az altér tehát „négydimenziós”, függetlenül attól, hogy egy ötödrendű ($\mathbb{R}^5$) térben helyezkedik el.

7.5. A standard bázis $\mathbb{R}^n$-ben

Az alábbi állításból fog következni, hogy $\mathbb{R}^n$ dimenziója – a várakozásainkkal összhangban – valóban $n$.

2.2.21. Állítás:

Jelölje minden $1 \le i \le n$ esetén $\underline{e}_i$ azt az $\mathbb{R}^n$-beli vektort, amelynek (felülről) az $i$-edik koordinátája 1, az összes többi koordinátája pedig 0. Ekkor:

$\underline{e}_1, \underline{e}_2, \dots, \underline{e}_n$ bázis $\mathbb{R}^n$-ben.

A tétel bizonyítása:

Készítsük el az $\underline{e}_1, \underline{e}_2, \dots, \underline{e}_n$ vektorok egy tetszőleges lineáris kombinációját az $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ skalárokkal:

$$ \alpha_1 \underline{e}_1 + \alpha_2 \underline{e}_2 + \dots + \alpha_n \underline{e}_n = \alpha_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \alpha_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} $$

1. Generátorrendszer: Azonnal látszik, hogy az $\underline{e}_i$ vektorok generátorrendszert alkotnak $\mathbb{R}^n$-ben, hiszen a lineáris kombinációjukként egy tetszőleges vektor előállhat. Ha egy adott $\underline{v}$ vektort szeretnénk belőlük kifejezni, akkor $\underline{v}$ $i$-edik koordinátáját választjuk $\underline{e}_i$ együtthatójának minden $i$-re – és ez egyben az egyetlen lehetőségünk is.

2. Lineáris függetlenség: Ebből következik, hogy ha épp a nullvektort akarjuk kifejezni a fenti lineáris kombinációként, akkor minden együtthatót 0-nak kell választanunk. Ez a 2.2.12. Tétel értelmében azt jelenti, hogy az $\underline{e}_1, \underline{e}_2, \dots, \underline{e}_n$ rendszer lineárisan független.

Mivel a rendszer generátorrendszer és lineárisan független, így valóban bázis. □

Konklúzió

Mivel találtunk egy bázist, amely pontosan $n$ darab vektorból áll, a dimenzió definíciója alapján:

$\dim \mathbb{R}^n = n$

7.6. A standard bázis elnevezése (2.2.22. Definíció)

Mivel az $\mathbb{R}^n$ térben az egységvektorokból álló rendszer a legtermészetesebb és leggyakrabban használt bázis, külön nevet és rögzített jelölést kapott a szakirodalomban.

2.2.22. Definíció:

A 2.2.21. Állításban definiált $\underline{e}_1, \underline{e}_2, \dots, \underline{e}_n$ bázist standard bázisnak hívjuk $\mathbb{R}^n$-ben.

A standard bázis jelölése: $E_n$

(Vagy ha $n$ értéke a szövegkörnyezetből egyértelmű, akkor egyszerűen csak $E$.)

Mire jó a standard bázis?

A standard bázis jelentősége abban áll, hogy tetszőleges $\underline{v} \in \mathbb{R}^n$ vektor koordinátái megegyeznek a standard bázisra vonatkozó kifejtési együtthatókkal. Ez teszi lehetővé a vektorok és a szám-oszlopok közötti közvetlen megfeleltetést.

Példafeladat: Standard bázis felírása

Feladat:

Adja meg az $E_2$ bázis elemeit és írja fel a $\underline{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ vektort ezen bázis elemeinek lineáris kombinációjaként!

1. Az $E_2$ bázis elemei

A definíció alapján $\mathbb{R}^2$-ben a standard bázis két vektorból áll:

$\underline{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \underline{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. Lineáris kombináció felírása

A $\underline{v}$ vektor koordinátái közvetlenül adják az együtthatókat:

$\underline{v} = 4 \cdot \underline{e}_1 + (-3) \cdot \underline{e}_2$
Látható, hogy az $E$ bázis használata mellett a kifejtés triviális, ezért hívjuk "standard"-nek.

7.7. Koordinátavektor és az egyértelműség

A térben a tengelyirányú egységvektorok (vagyis a standard bázis) szoros összefüggésben állnak a koordinátarendszerrel: minden $\underline{v} = (a, b, c)$ vektor kifejezhető a lineáris kombinációjukként: $\underline{v} = a\underline{e}_1 + b\underline{e}_2 + c\underline{e}_3$.

A koordinátarendszer működése szempontjából alapvető fontosságú, hogy minden $\underline{v}$ vektor csak egyféleképpen legyen kifejezhető – vagyis különböző koordináta-hármasok ne felelhessenek meg ugyanannak a vektornak. Az alábbi tétel azt mondja ki, hogy ugyanez igaz minden bázisra.

2.2.23. Tétel:

A $V \le \mathbb{R}^n$ altérben a $\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k$ vektorok akkor és csak akkor alkotnak bázist, ha minden $\underline{v} \in V$ egyértelműen (vagyis pontosan egyféleképpen) fejezhető ki a lineáris kombinációjukként.

A tétel bizonyítása:

1. Az „akkor” irány (Bázis $\implies$ Egyértelműség):

Mivel a rendszer bázis, egyben generátorrendszer is, így minden $\underline{v} \in V$ kifejezhető lineáris kombinációként. Tegyük fel indirekt, hogy valamely $\underline{v}$ kétféleképpen is kifejezhető: $\underline{v} = \lambda_1 \underline{b}_1 + \dots + \lambda_k \underline{b}_k \quad \text{és} \quad \underline{v} = \mu_1 \underline{b}_1 + \dots + \mu_k \underline{b}_k$ ahol $\lambda_j \neq \mu_j$ valamely $j$-re. A két kifejezés különbségét véve: $\underline{0} = (\lambda_1 - \mu_1)\underline{b}_1 + \dots + (\lambda_k - \mu_k)\underline{b}_k$ Azt kaptuk, hogy a $\underline{0}$ kifejezhető nemtriviális lineáris kombinációként (hiszen $\lambda_j - \mu_j \neq 0$). Ez ellentmond annak, hogy a rendszer lineárisan független (bázis).

2. A „csak akkor” irány (Egyértelműség $\implies$ Bázis):

A feltételből rögtön következik, hogy a rendszer generátorrendszer (hiszen minden $\underline{v}$ kifejezhető). A lineáris függetlenség pedig a $\underline{v} = \underline{0}$ esetéből adódik: mivel a zérusvektornak is egyértelmű az előállítása, és a triviális (csupa 0) kombináció biztosan $\underline{0}$-t ad, ezért nem létezhet nemtriviális előállítás. Ez épp a függetlenség definíciója. □

Példafeladat: Egyértelmű kifejtés

Szituáció:

Adott $\mathbb{R}^2$-ben a $B = \{ \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \}$ bázis.
Mutassa meg, hogy a $\underline{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ vektor egyértelműen kifejezhető!

Megoldandó egyenlet: $\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

  • (1) $\lambda_1 + \lambda_2 = 5$
  • (2) $\lambda_1 - \lambda_2 = 1$

Összeadva a két egyenletet: $2\lambda_1 = 6 \implies \mathbf{\lambda_1 = 3}$.

Visszahelyettesítve: $3 + \lambda_2 = 5 \implies \mathbf{\lambda_2 = 2}$.

Mivel a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, a kifejtés valóban egyértelmű: $\underline{v} = 3\underline{b}_1 + 2\underline{b}_2$.

7.8. A koordinátavektor fogalma (2.2.24. Definíció)

Mivel láttuk, hogy egy bázisban minden vektor előállítása egyértelmű, ez lehetővé teszi, hogy a vektorokat a bázisvektorokhoz tartozó együtthatókkal (skalárokkal) azonosítsuk.

2.2.24. Definíció:

Legyen $V \le \mathbb{R}^n$ altér, $B = \{\underline{b}_1, \underline{b}_2, \dots, \underline{b}_k\}$ bázis $V$-ben és $\underline{v} \in V$ tetszőleges vektor. Azt mondjuk, hogy a $\underline{k} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_k \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^k$ vektor a $\underline{v}$ vektor **$B$ szerinti koordinátavektora**, ha:

$\underline{v} = \lambda_1 \underline{b}_1 + \lambda_2 \underline{b}_2 + \dots + \lambda_k \underline{b}_k$

Ennek jelölése: $\underline{k} = [\underline{v}]_B$

Fontos megjegyzés a dimenzióról:

Vegyük észre, hogy ha $V$ egy $k$-dimenziós altér, akkor a koordinátavektor az $\mathbb{R}^k$ tér eleme lesz, függetlenül attól, hogy az eredeti $\underline{v}$ vektor hány koordinátával rendelkezett az $\mathbb{R}^n$ térben. Ez a lineáris algebra egyik legnagyobb ereje: a bonyolult tereket visszavezeti a szám-oszlopok világába.

Példafeladat: Koordinátavektor felírása

Feladat:

Adott $\mathbb{R}^2$-ben a $B = \{ \underline{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \underline{b}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \}$ bázis.
Határozza meg a $\underline{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \end{pmatrix}$ vektor $B$ bázisra vonatkozó $[\underline{v}]_B$ koordinátavektorát!

1. Az előállítás felírása

Keressük azokat a $\lambda_1, \lambda_2$ skalárokat, melyekre:

$\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \end{pmatrix}$
Egyenletrendszer:
  • $1\lambda_1 + 0\lambda_2 = 3 \implies \mathbf{\lambda_1 = 3}$
  • $2\lambda_1 + 1\lambda_2 = 10 \implies 2(3) + \lambda_2 = 10$
  • $6 + \lambda_2 = 10 \implies \mathbf{\lambda_2 = 4}$

$\lambda_1 = 3$
$\lambda_2 = 4$

Végeredmény

A skalárokból összeállított oszlopvektor a koordinátavektor:

$[\underline{v}]_B = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

Koordinátavektor Számító ($\mathbb{R}^2$)

Adj meg egy bázist ($b_1, b_2$) és egy tetszőleges vektort ($v$), hogy lásd a koordinátáit ebben a bázisban!

Bázisvektor 1 ($\underline{b}_1$)

Bázisvektor 2 ($\underline{b}_2$)

Célvektor ($\underline{v}$)

Koordinátavektor: $[\underline{v}]_B$

(3, -1)
$\underline{v} = \alpha_1 \underline{b}_1 + \alpha_2 \underline{b}_2$
$(4,2) = 3 \cdot (1,1) + (-1) \cdot (-1,1)$

7.9. Bázis létezése és kiegészítési tétel

A 2.2.20. Definíció szerint egy $V$ altér dimenziója $k$, ha van benne $k$ elemű bázis. Azt már tudjuk, hogy ebben az esetben minden $V$-beli bázis $k$ elemű, de egy fontos kérdés még nyitva maradt: van-e egyáltalán minden altérben legalább egy bázis? A válasz igen, ami az alábbi tételből következik:

2.2.26. Tétel (Bázis kiegészítési tétel):

Legyen $V \le \mathbb{R}^n$ altér, $\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k$ pedig egy $V$-beli vektorokból álló lineárisan független rendszer. Ekkor az $\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k$ rendszer kiegészíthető véges sok (esetleg nulla) további vektorral úgy, hogy a kapott rendszer bázis legyen $V$-ben.

A tétel bizonyítása:

Legyen $W = \langle \underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k \rangle$. Nyilván igaz, hogy $W \subseteq V$ (mert $V$ altér, így az $\underline{f}_i$-kből lineáris kombinációval kifejezhető vektorok mind $V$-beliek kell legyenek).

  • Ha $V = W$, akkor az $\{\underline{f}_1, \dots, \underline{f}_k\}$ rendszer generátorrendszer, és mivel független is, így bázis $V$-ben (ekkor nulla elemmel egészítettük ki).
  • Ha $V \neq W$, akkor létezik egy $\underline{v} \in V$ vektor, amelyre $\underline{v} \notin W$. Az újonnan érkező vektor lemmája (2.2.14.) szerint ekkor az $\{\underline{f}_1, \dots, \underline{f}_k, \underline{v}\}$ rendszer lineárisan független.

Ha ez az új rendszer már generátorrendszer $V$-ben, akkor a tételt beláttuk. Ha nem, akkor folytatjuk ezt az eljárást (vagyis kiegészítjük a rendszert egy újabb, a generált altérhez nem tartozó vektorral).

Miért áll meg a folyamat? Ez a 2.2.15. FG-egyenlőtlenségből következik: mivel $\mathbb{R}^n$-ben van $n$ elemű generátorrendszer (pl. a standard bázis), ezért nem létezhet benne $n$-nél nagyobb lineárisan független rendszer. Így az eljárás legfeljebb $n - k$ vektor hozzávétele után megáll és bázist ad. □

Következmény: A bázis létezése

A fenti tétel speciális eseteként (ha az üres halmazból vagy egyetlen független vektorból indulunk ki) adódik, hogy:

Minden $V \le \mathbb{R}^n$ altérben létezik bázis.

Ez biztosítja, hogy a dimenzió fogalma minden altér esetén értelmes és használható legyen.

7.10. Bázis létezése és a dimenzió kapcsolata

A bázis kiegészítési tételéből (2.2.26.) két olyan következmény adódik, amelyek alapvetően meghatározzák a vektorterek szerkezetét.

2.2.27. Következmény:

Minden $V \le \mathbb{R}^n$ altérben van bázis (és ezért $\dim V$ is létezik).

Bizonyítás: Ha $V = \{\underline{0}\}$, akkor az üres halmaz a bázisa. Ha viszont $V$ tartalmaz egy $\underline{v} \neq \underline{0}$ vektort, akkor erre (mint egyetlen elemből álló lineárisan független rendszerre) alkalmazva a bázis kiegészítési tételt, kapunk egy $V$-beli bázist.

2.2.28. Következmény:

Legyen $V \le \mathbb{R}^n$ egy altér, $\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k$ pedig $V$-beli vektorokból álló lineárisan független rendszer.

Ha $\dim V = k$, akkor $\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k$ bázis $V$-ben.
Bizonyítás: Mivel $\dim V = k$, ezért (a 2.2.19. Tétel szerint) $V$-ben minden bázis $k$ elemű. Így ha a 2.2.26. Tételt alkalmazzuk az $\underline{f}_1, \dots, \underline{f}_k$ rendszerre, a bázissá kiegészítéshez használt további vektorok száma csak nulla lehet, tehát a rendszer már eredetileg is bázis volt.

Gyakorlati haszon:

A 2.2.28. következmény azért rendkívül fontos, mert ha tudjuk egy altér dimenzióját (például $\mathbb{R}^3$-ben $\dim V = 3$), akkor a bázis igazolásához elegendő csak a lineáris függetlenséget ellenőrizni. Ha megvan a szükséges számú független vektor, a generátor tulajdonság automatikusan teljesül.

Példafeladat: Gyors bázis-ellenőrzés

Feladat:

Döntse el, hogy a $B = \{ (1, 2), (3, 4) \}$ halmaz bázisa-e $\mathbb{R}^2$-nek!

1. Dimenzió azonosítása

Tudjuk, hogy $\dim \mathbb{R}^2 = 2$. A vizsgált rendszer szintén 2 darab vektorból áll ($k = 2$).

2. Függetlenség vizsgálata

Mivel a két vektor nem párhuzamos ($(1, 2) \cdot c \neq (3, 4)$), ezért lineárisan függetlenek.

Következtetés (2.2.28. alapján)

Mivel a dimenzióval megegyező számú ($2$) független vektorunk van, a rendszer automatikusan bázis.
Nem szükséges külön bizonyítani, hogy generátorrendszer-e.