BSz1 Jegyzet

6. Tétel:

Rn és Rn alterének fogalma. Lineáris kombináció, generált altér (és ennek altér volta), generátorrendszer. Lineáris függetlenség (ennek kétféle definíciója és ezek ekvivalenciája). Az "újonnan érkező vektor" lemmája. F-G egyenlőtlenség.

6.1. Az $\mathbb{R}^n$ tér fogalma

Tudjuk, hogy a sík, illetve a tér pontjai számpároknak, illetve számhármasoknak feleltethetők meg. Ennek mintájára bevezethetjük az $n$ darab valós szám által leírt „pontokat” is, amelyeknek a halmazát $\mathbb{R}^n$ fogja jelölni.

Jelölésmódok: Sor- és oszlopvektorok

Míg a koordinátageometriában a vektorokat általában sorvektorként írtuk (egymás mellett, egy sorban), addig a lineáris algebrában és az $n$ dimenziós térben inkább az oszlopvektoros jelölés használatos.

A kettő között nyilván nincs érdemi különbség, az oszlopvektoros jelölés haszna elsősorban a mátrixműveleteknél fog megmutatkozni.

2.2.1. Definíció:

Tetszőleges $n \ge 1$ egész esetén az $n$ darab valós számból álló számoszlopok halmazát $\mathbb{R}^n$ jelöli. Az $\mathbb{R}^n$-en értelmezett összeadást és a skalárral való szorzást az alábbiak szerint értelmezzük:

Vektorok összeadása

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix} $$

Skalárral való szorzás

$$ \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \vdots \\ \lambda x_n \end{pmatrix} $$

Példafeladat: Műveletek $\mathbb{R}^4$-ben

Feladat:

Adottak az $\underline{u}, \underline{v} \in \mathbb{R}^4$ vektorok: $$ \underline{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \underline{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Számítsa ki a $2\underline{u} + \underline{v}$ eredő vektort!

1. Skalárral való szorzás

$$ 2\underline{u} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} $$

2. Vektorok összeadása

$$ 2\underline{u} + \underline{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ -4+1 \\ 0+4 \\ 6+(-1) \end{pmatrix} $$

Végeredmény

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} $$

A műveleteket komponensenként (koordinátánként) végeztük el.

6.2. A vektorműveletek tulajdonságai (2.2.2. Tétel)

2.2.2. Tétel:

Legyenek $\underline{u}, \underline{v}, \underline{w} \in \mathbb{R}^n$ és $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Ekkor igazak az alábbiak:

  • i $\underline{u} + \underline{v} = \underline{v} + \underline{u}$ (az $\mathbb{R}^n$-beli összeadás kommutatív);
  • ii $(\underline{u} + \underline{v}) + \underline{w} = \underline{u} + (\underline{v} + \underline{w})$ (az $\mathbb{R}^n$-beli összeadás asszociatív);
  • iii $\lambda \cdot (\underline{u} + \underline{v}) = \lambda \cdot \underline{u} + \lambda \cdot \underline{v}$ (disztributivitás);
  • iv $(\lambda + \mu) \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v} + \mu \cdot \underline{v}$ (disztributivitás);
  • v $\lambda \cdot (\mu \cdot \underline{v}) = (\lambda \mu) \cdot \underline{v}$.

A tétel bizonyítása:

A felsorolt tulajdonságok mindegyike azonnal következik a valós számok műveleti tulajdonságaiból. Illusztrációképp nézzük meg a (iii) tulajdonság részletes bizonyítását oszlopvektorokkal:

Legyen $\underline{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ és $\underline{v} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$. Ekkor az egyenlőség bal oldala:

$\lambda \cdot (\underline{u} + \underline{v}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda(x_1 + y_1) \\ \vdots \\ \lambda(x_n + y_n) \end{pmatrix}$

Az egyenlet jobb oldala pedig:

$\lambda \cdot \underline{u} + \lambda \cdot \underline{v} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \vdots \\ \lambda x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda y_1 \\ \vdots \\ \lambda y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x_1 + \lambda y_1 \\ \vdots \\ \lambda x_n + \lambda y_n \end{pmatrix}$

Látható, hogy az egyenlet két oldalán álló vektorok valóban azonosak, mivel minden egyes komponensben a valós számokra vonatkozó disztributivitás ($\lambda(x_i + y_i) = \lambda x_i + \lambda y_i$) érvényesül. □

Példafeladat: Tulajdonságok igazolása $\mathbb{R}^3$-ban

Feladat:

Igazolja a 2.2.2. Tétel (iv) tulajdonságát – $(\lambda + \mu) \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v} + \mu \cdot \underline{v}$ – az alábbi konkrét értékekkel:
$\lambda = 3, \mu = -1$ és $\underline{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}$.

1. Bal oldal kiszámítása

Először adjuk össze a skalárokat, majd szorozzuk be a vektort:

$$ (3 + (-1)) \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} $$

2. Jobb oldal kiszámítása

Végezzük el külön-külön a szorzásokat, majd adjuk össze az eredményeket:

$$ 3 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ -15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} $$

Következtetés

Mivel a két oldal eredménye megegyezik, a konkrét példán keresztül is látható, hogy a skalárok összegével való szorzás felbontható a skalárok külön-külön vett szorzataira.

6.3. Az $\mathbb{R}^n$ alterei

Geometriai szemléletünk alapján világos, hogy a tér végtelen sok különböző példányban tartalmazza a síkot – hasonlóan ahhoz, ahogyan a sík végtelen sok példányban tartalmazza az „egydimenziós teret”, az egyenest.

A következő definíció ezt a jelenséget igyekszik általánosítani $\mathbb{R}^n$-re is – noha fontos rögzíteni, hogy a kapott fogalom nem lesz teljesen azonos a szemlélet által sugallt képpel: például nem minden térbeli sík lesz altere a térnek, csak az origón átmenők.

2.2.4. Definíció:

Legyen $\emptyset \neq V \subseteq \mathbb{R}^n$ az $\mathbb{R}^n$ tér egy nemüres részhalmaza. $V$-t az $\mathbb{R}^n$ alterének nevezzük, ha az alábbi két feltétel teljesül:

  • i Bármely $\underline{u}, \underline{v} \in V$ esetén $\underline{u} + \underline{v} \in V$ is igaz (zártság az összeadásra);
  • ii Bármely $\underline{v} \in V, \lambda \in \mathbb{R}$ esetén $\lambda \cdot \underline{v} \in V$ is igaz (zártság a skalárral szorzásra).

Jelölése: $V \le \mathbb{R}^n$.

Példafeladat: Altér-tulajdonság vizsgálata

Feladat:

Döntse el, hogy az $V = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 0 \}$ halmaz altere-e $\mathbb{R}^2$-nek!

1. Az (i) feltétel ellenőrzése (Összeadás)

Legyen $\underline{u} = (x_1, y_1)$ és $\underline{v} = (x_2, y_2)$ két $V$-beli vektor. Ez azt jelenti, hogy $x_1 + y_1 = 0$ és $x_2 + y_2 = 0$.

Nézzük meg az összegüket: $\underline{u} + \underline{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$.

$(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0$

Mivel az összeg koordinátáinak összege is 0, így $\underline{u} + \underline{v} \in V$.

2. A (ii) feltétel ellenőrzése (Skalárral szorzás)

Legyen $\underline{v} = (x, y) \in V$, azaz $x + y = 0$, és legyen $\lambda \in \mathbb{R}$.

Nézzük meg a skalárszorost: $\lambda\underline{v} = (\lambda x, \lambda y)$.

$\lambda x + \lambda y = \lambda(x + y) = \lambda \cdot 0 = 0$

A skalárszoros koordinátáinak összege is 0, tehát $\lambda\underline{v} \in V$.

Következtetés

Mivel mindkét feltétel teljesül, a megadott $V$ halmaz valóban altere $\mathbb{R}^2$-nek. Geometriailag ez egy origón átmenő egyenes.

6.4. Generált altér (2.2.3.)

2.2.7. Definíció (Lineáris kombináció):

Legyenek $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k \in \mathbb{R}^n$ vektorok és $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R}$ skalárok. Ekkor a $\lambda_1 \underline{v}_1 + \lambda_2 \underline{v}_2 + \dots + \lambda_k \underline{v}_k$ vektort a $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k$ vektorok $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$ skalárokkal vett lineáris kombinációjának nevezzük.

2.2.8. Tétel:

Legyenek $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k \in \mathbb{R}^n$ tetszőleges, rögzített vektorok. Jelölje $W$ az összes olyan $\mathbb{R}^n$-beli vektor halmazát, amelyek kifejezhetők a $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k$ vektorokból lineáris kombinációval. Ekkor $W$ altér $\mathbb{R}^n$-ben.

A tétel bizonyítása:

A 2.2.4. Definíció szerint azt kell megmutatnunk, hogy $W$ zárt az összeadásra és a skalárral szorzásra, továbbá $W \neq \emptyset$.

1. Nemüresség: $\underline{0} \in W$ mindig igaz, hiszen a zérusvektor előáll csupa 0 együtthatókkal vett lineáris kombinációként tetszőleges vektorrendszerből. Emiatt $W \neq \emptyset$.

2. Összeadásra való zártság: Legyenek $\underline{w}_1, \underline{w}_2 \in W$ tetszőlegesek. Ekkor $\underline{w}_1 = \alpha_1 \underline{v}_1 + \dots + \alpha_k \underline{v}_k$ és $\underline{w}_2 = \beta_1 \underline{v}_1 + \dots + \beta_k \underline{v}_k$ valamely $\alpha_i$ és $\beta_i$ skalárokra.

$\underline{w}_1 + \underline{w}_2 = (\alpha_1 + \beta_1)\underline{v}_1 + (\alpha_2 + \beta_2)\underline{v}_2 + \dots + (\alpha_k + \beta_k)\underline{v}_k$

Ez a 2.2.2. Tétel szerinti átrendezés és kiemelés után láthatóan szintén lineáris kombinációja a $\underline{v}_i$ vektoroknak, tehát $\underline{w}_1 + \underline{w}_2 \in W$.

3. Skalárral szorzásra való zártság: Hasonlóan, $\lambda \underline{w}_1 = (\lambda \alpha_1)\underline{v}_1 + (\lambda \alpha_2)\underline{v}_2 + \dots + (\lambda \alpha_k)\underline{v}_k$, amiből $\lambda \underline{w}_1 \in W$ következik.

A bizonyítás teljes. □

Példafeladat: Lineáris kombináció $\mathbb{R}^3$-ban

Feladat:

Állítsa elő a $\underline{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}$ vektort a $\underline{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ vektorok lineáris kombinációjaként!

1. Az egyenlet felírása

Keressük azokat a $\lambda_1, \lambda_2$ skalárokat, amelyekre teljesül:

$\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \\ 3 \end{pmatrix}$

2. Egyenletrendszer megoldása

  • (1) $\lambda_1 + 2\lambda_2 = 7$
  • (2) $2\lambda_1 + 3\lambda_2 = 11$
  • (3) $\lambda_1 = 3$

A harmadik egyenletből kapjuk: $\lambda_1 = 3$.

Behelyettesítve az elsőbe: $3 + 2\lambda_2 = 7 \implies 2\lambda_2 = 4 \implies \mathbf{\lambda_2 = 2}$.

Ellenőrzés a második egyenlettel: $2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12 \neq 11$. Hoppá!

Következtetés

Mivel nincs olyan skalárpár, ami mindhárom egyenletet kielégítené, a $\underline{w}$ vektor nem fejezhető ki lineáris kombinációként, tehát $\underline{w} \notin \{\underline{v}_1, \underline{v}_2\}$.

Lineáris Kombináció Építő ($\mathbb{R}^3$)

Vektor 1 (v₁)

Súly (λ₁):

Vektor 2 (v₂)

Súly (λ₂):

Eredő Vektor (λ₁v₁ + λ₂v₂)

(2, -1, 1)

Minden változtatásnál kattints a számolásra.

6.5. Generált altér és generátorrendszer (2.2.9.)

Az előző tétel (2.2.8.) garantálta, hogy tetszőleges vektorok lineáris kombinációinak halmaza alteret alkot. Most nevet is adunk ennek a halmaznak és rögzítjük a jelölését:

2.2.9. Definíció:

Legyenek $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k \in \mathbb{R}^n$ tetszőleges vektorok. Ekkor a $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k$ vektorokból lineáris kombinációval kifejezhető $\mathbb{R}^n$-beli vektorok halmazát a $\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k$ generált alterének nevezzük és $\langle \underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k \rangle$-val jelöljük. Vagyis:

$\langle \underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k \rangle = \{ \lambda_1 \underline{v}_1 + \lambda_2 \underline{v}_2 + \dots + \lambda_k \underline{v}_k : \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k \in \mathbb{R} \}$

A generátorrendszer fogalma

Ha pedig a $W \le \mathbb{R}^n$ altérre $W = \langle \underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k \rangle$, akkor a $\{\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k\}$ vektorhalmazt a $W$ altér generátorrendszerének nevezzük.

Ez azt jelenti, hogy a generátorrendszer olyan vektorok gyűjteménye, amelyek „kifeszítik” vagy „lefedik” a teljes alteret, mivel az altér minden pontja elérhető a generátorrendszer elemeinek megfelelő súlyozott összegeként.

Példafeladat: Generátorrendszer vizsgálata $\mathbb{R}^2$-ben

Feladat:

Generátorrendszere-e az $S = \{ \underline{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \underline{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \underline{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \}$ halmaz az $\mathbb{R}^2$ térnek?

1. Az elméleti feltétel

A definíció szerint akkor generátorrendszer, ha $\mathbb{R}^2$ minden tetszőleges $\underline{w} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ vektora kifejezhető $S$ elemeinek lineáris kombinációjaként.

2. Előállítás keresése

Vegyük észre, hogy már az első két vektorral is bárhová eljuthatunk:

$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Tehát $\lambda_1 = a, \lambda_2 = b, \lambda_3 = 0$ választással minden üzenet előállítható.

Következtetés

Igen, a halmaz generátorrendszere $\mathbb{R}^2$-nek. Megjegyzendő, hogy $\underline{v}_3$ „felesleges” (redundáns) a generáláshoz, de a definíció nem tiltja a szükségesnél több vektor jelenlétét.

6.6. Lineáris függetlenség

Tapasztalatból tudjuk, hogy egy $W$ altér egy generátorrendszerében lehetnek „fölösleges” elemek is: olyan vektorok, amelyeket elhagyva továbbra is generátorrendszert kapunk. Ennek oka, hogy a fölösleges vektor kifejezhető a többi vektorból lineáris kombinációval, így a kódolásnál „kiváltható” velük. Az alábbi definíció épp annak a jelenségnek ad nevet, amikor egy vektorrendszerben nincs ilyen értelemben vett fölösleges vektor.

2.2.11. Definíció:

A $\{\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k\} \subseteq \mathbb{R}^n$ vektorrendszert akkor nevezzük lineárisan függetlennek, ha a vektorok közül semelyik sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjaként.

Ha ez nem teljesül – vagyis van közöttük legalább egy olyan, ami kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként –, akkor a rendszert lineárisan összefüggőnek nevezzük.

2.2.12. Tétel:

A $\{\underline{v}_1, \underline{v}_2, \dots, \underline{v}_k\} \in \mathbb{R}^n$ vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha a
$\lambda_1 \underline{v}_1 + \lambda_2 \underline{v}_2 + \dots + \lambda_k \underline{v}_k = \underline{0}$
egyenlőség kizárólag abban az esetben teljesül, ha $\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k = 0$.

A tétel bizonyítása (Indirekt):

1. Az „akkor” állítás:

Tegyük fel, hogy a $\sum \lambda_i \underline{v}_i = \underline{0}$ csak a csupa 0 együtthatókkal teljesül. Megmutatjuk, hogy a rendszer független. Tegyük fel indirekt, hogy összefüggő: ekkor valamelyikük (legyen $\underline{v}_1$) kifejezhető: $\underline{v}_1 = \alpha_2 \underline{v}_2 + \dots + \alpha_k \underline{v}_k$. Átrendezve: $1 \cdot \underline{v}_1 - \alpha_2 \underline{v}_2 - \dots - \alpha_k \underline{v}_k = \underline{0}$ Ez ellentmondás, mert találtunk egy olyan nullát adó kombinációt, ahol nem minden együttható nulla (hiszen $\lambda_1 = 1$).

2. A „csak akkor” állítás:

Tegyük fel, hogy a rendszer lineárisan független. Megmutatjuk, hogy a zérusvektor csak a triviális módon állítható elő. Tegyük fel indirekt, hogy van olyan előállítás, ahol valamely $\lambda_i \neq 0$ (legyen $\lambda_1 \neq 0$). Ekkor átrendezés és $\lambda_1$-gyel való osztás után: $\underline{v}_1 = -\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\underline{v}_2 - \dots - \frac{\lambda_k}{\lambda_1}\underline{v}_k$ Ez ellentmondás, mert $\underline{v}_1$ kifejezhető a többivel, tehát a rendszer mégis összefüggő lenne. □

Példafeladat: Függetlenség eldöntése

Feladat:

Lineárisan független-e az alábbi vektorrendszer $\mathbb{R}^3$-ban? $$ \underline{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \underline{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \underline{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} $$

1. Ellenőrzés a definíció alapján

Nézzük meg, kifejezhető-e $\underline{v}_3$ az első kettő segítségével: $\underline{v}_3 = \alpha \underline{v}_1 + \beta \underline{v}_2$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$
Egyenletrendszer:
  • $1 = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot 0 \implies \mathbf{\alpha = 1}$
  • $1 = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 1 \implies \mathbf{\beta = 1}$
  • $5 = 2\alpha + 3\beta$

Ellenőrzés: $2(1) + 3(1) = 5$.
Minden egyenlet teljesül!

Végeredmény

Mivel $\underline{v}_3 = \underline{v}_1 + \underline{v}_2$, ezért a $\underline{v}_3$ vektor „fölösleges” (kifejezhető a többiekből).
Válasz: A vektorrendszer lineárisan összefüggő.

Vektorrendszerek elemzése R3-ban

Függetlenség és generátorrendszer vizsgálata

6.7. Az újonnan érkező vektor lemmája

2.2.14. Lemma:

Tegyük fel, hogy az $\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k$ rendszer lineárisan független, de az $\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k, \underline{f}_{k+1}$ rendszer lineárisan összefüggő. Ekkor:

$\underline{f}_{k+1} \in \langle \underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k \rangle$

(Vagyis az újonnan érkező $\underline{f}_{k+1}$ vektor kifejezhető az eredeti vektorok lineáris kombinációjaként.)

A lemma bizonyítása:

Mivel az $\{\underline{f}_1, \dots, \underline{f}_{k+1}\}$ rendszer lineárisan összefüggő, ezért a 2.2.12. Tétel értelmében léteznek olyan $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k, \lambda_{k+1}$ skalárok, amelyek közül nem mind nulla, és: $\lambda_1 \underline{f}_1 + \dots + \lambda_k \underline{f}_k + \lambda_{k+1} \underline{f}_{k+1} = \underline{0}$

Ha itt $\lambda_{k+1} = 0$ teljesülne, akkor azt kapnánk, hogy $\lambda_1 \underline{f}_1 + \dots + \lambda_k \underline{f}_k = \underline{0}$, ahol a $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ skalárok között van nemnulla. Ez azonban ellentmondana annak a feltételnek, hogy az $\{\underline{f}_1, \dots, \underline{f}_k\}$ rendszer lineárisan független.

Következésképp $\lambda_{k+1} \neq 0$. Ekkor átrendezés és $\lambda_{k+1}$-gyel való osztás után az alábbi összefüggést kapjuk:

$\underline{f}_{k+1} = -\frac{\lambda_1}{\lambda_{k+1}}\underline{f}_1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_{k+1}}\underline{f}_2 - \dots - \frac{\lambda_k}{\lambda_{k+1}}\underline{f}_k$

Vagyis $\underline{f}_{k+1} \in \langle \underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k \rangle$ valóban igaz. □

Példafeladat: A lemma illusztrálása $\mathbb{R}^2$-ben

Szituáció:

Adott $\underline{f}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{f}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Ez a rendszer független.
Vegyünk egy harmadik vektort: $\underline{f}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Tudjuk, hogy $\mathbb{R}^2$-ben 3 vektor már biztosan összefüggő. A lemma azt állítja, hogy mivel $\{\underline{f}_1, \underline{f}_2\}$ független, de $\{\underline{f}_1, \underline{f}_2, \underline{f}_3\}$ már összefüggő, az $\underline{f}_3$ kifejezhető az első kettővel.

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Láthatóan $\underline{f}_3 = 2\underline{f}_1 + 3\underline{f}_2$, tehát $\underline{f}_3 \in \langle \underline{f}_1, \underline{f}_2 \rangle$.

6.8. Az F-G egyenlőtlenség

Megismertünk két alapvető fogalmat: a $V$ altér generátorrendszerének, illetve a lineárisan független rendszernek a fogalmát. Láttuk például, hogy $\mathbb{R}^3$-ben három vektor már alkothat generátorrendszert, de kettő még nyilván nem; láttuk azt is, hogy $\mathbb{R}^3$-ben három vektor még alkothat lineárisan független rendszert, de könnyű meggondolni, hogy négy már nem.

Az alábbi tétel azt mondja ki, hogy ez a megfigyelés általában is érvényes: minden altérben igaz, hogy abban bármely lineárisan független rendszer legföljebb annyi vektorból áll, mint az altér bármely generátorrendszere.

2.2.15. Tétel (F-G egyenlőtlenség):

Legyen $V \le \mathbb{R}^n$ egy altér, $\{\underline{f}_1, \underline{f}_2, \dots, \underline{f}_k\}$ egy $V$-beli vektorokból álló lineárisan független rendszer, $\{\underline{g}_1, \underline{g}_2, \dots, \underline{g}_m\}$ pedig egy generátorrendszer $V$-ben. Ekkor:

$k \le m$

(A lineáris algebra elméletében alapvető fontosságú tétel, amelyre a továbbiakban „F-G egyenlőtlenségként” hivatkozunk.)

Példafeladat: Az F-G egyenlőtlenség alkalmazása

Feladat:

Adott egy $V$ altér $\mathbb{R}^4$-ben, amelyről tudjuk, hogy generálható 3 vektorral.
Lehet-e ebben az altérben találni 5 darab lineárisan független vektort?

1. Az adatok azonosítása

  • Generátorrendszer mérete: $m = 3$
  • Keresett független rendszer mérete: $k = 5$

2. A tétel alkalmazása

Az F-G egyenlőtlenség kimondja, hogy tetszőleges független rendszer mérete ($k$) nem haladhatja meg egy tetszőleges generátorrendszer méretét ($m$).

Kérdés: Teljesül-e, hogy $5 \le 3$?

Végeredmény

Mivel az $5 \le 3$ állítás hamis, az F-G egyenlőtlenség értelmében ilyen rendszer nem létezhet.
Válasz: Nem, egy 3 vektorral generált altérben legfeljebb 3 független vektor található.