BSz1 Jegyzet

15. Tétel:

Lineáris leképezések magtere, képtere, ezek altér volta. Dimenziótétel.

15.1. Magtér és képtér

A lineáris leképezések vizsgálatakor két alapvető halmazt definiálunk, amelyek a leképezés tulajdonságait jellemzik.

2.8.7. Definíció

Az $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ lineáris leképezés magterének nevezzük és $\text{Ker } f$-fel jelöljük azon $\mathbb{R}^n$-beli vektorok halmazát, amelyeknek a képe a nullvektor:

$\text{Ker } f = \{ \underline{x} \in \mathbb{R}^n : f(\underline{x}) = \underline{0} \}$

Az $f$ képterének nevezzük és $\text{Im } f$-fel jelöljük azon $\mathbb{R}^k$-beli vektorok halmazát, amelyek megkaphatók legalább egy $\mathbb{R}^n$-beli vektor képeként:

$\text{Im } f = \{ \underline{y} \in \mathbb{R}^k : \exists \underline{x} \in \mathbb{R}^n, f(\underline{x}) = \underline{y} \}$

Mátrixszintű összefüggés

Ha a leképezés mátrixa $A$, akkor a magtér nem más, mint az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza. A képtér pedig a függvény értékkészlete, vagyis az összes olyan $\underline{y}$ vektor, amelyre az $A \cdot \underline{x} = \underline{y}$ egyenlet megoldható.

2.8.8. Állítás (Altér tulajdonság)

Tetszőleges $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ lineáris leképezésre teljesül:

$\text{Ker } f \le \mathbb{R}^n$
$\text{Im } f \le \mathbb{R}^k$

Vagyis mind a magtér, mind a képtér alteret alkot a kiindulási, illetve az érkezési vektortérben.

Levezetett példafeladat

Feladat:

Írja fel a magtér és képtér elemeire vonatkozó feltételeket, ha $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ mátrixa: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 & -5 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -6 & 7 & 8 \end{pmatrix} $$

$\underline{x} \in \text{Ker } f$ feltétele:

$2x_1 - 3x_2 + 4x_3 - 5x_4 = 0$
$x_1 + x_4 = 0$
$-6x_2 + 7x_3 + 8x_4 = 0$

A magtér a homogén rendszer megoldása.

$\underline{y} \in \text{Im } f$ feltétele:

$2x_1 - 3x_2 + 4x_3 - 5x_4 = y_1$
$x_1 + x_4 = y_2$
$-6x_2 + 7x_3 + 8x_4 = y_3$

A képtér azon y-ok halmaza, amelyekre ez megoldható.

15.2. Altér-tulajdonság bizonyítása

Ahhoz, hogy belássuk, hogy a magtér és a képtér valóban alterek, ellenőriznünk kell a 2.2.4. Definíció szerinti feltételeket: a halmazok nem lehetnek üresek, és zártnak kell lenniük az összeadásra, valamint a skalárral való szorzásra nézve.

A 2.8.8. Állítás bizonyítása:

I. A magtér ($\text{Ker } f \le \mathbb{R}^n$) igazolása:

Legyen $\underline{x}_1, \underline{x}_2 \in \text{Ker } f$ és $\lambda \in \mathbb{R}$. Ez azt jelenti, hogy $f(\underline{x}_1) = \underline{0}$ és $f(\underline{x}_2) = \underline{0}$.

  • Összeadásra való zártság: A leképezés linearitása (2.8.3. Tétel (i)) miatt:
    $f(\underline{x}_1 + \underline{x}_2) = f(\underline{x}_1) + f(\underline{x}_2) = \underline{0} + \underline{0} = \underline{0}$.
    Így $\underline{x}_1 + \underline{x}_2$ is a magtér eleme.
  • Skalárral szorzásra való zártság: A linearitás (2.8.3. Tétel (ii)) miatt:
    $f(\lambda \cdot \underline{x}_1) = \lambda \cdot f(\underline{x}_1) = \lambda \cdot \underline{0} = \underline{0}$.
    Tehát $\lambda \cdot \underline{x}_1$ is a magtérben van.

Mivel $\underline{0} \in \text{Ker } f$ is teljesül ($f(\underline{0})=\underline{0}$), a magtér valóban altér.

II. A képtér ($\text{Im } f \le \mathbb{R}^k$) igazolása:

Bár a képtérnél is elvégezhetnénk a fenti műveleti ellenőrzést, létezik egy elegánsabb bizonyítás a korábbi tételek alapján:

Legyen $[f] = A$. A képtér definíció szerint azon $\underline{y}$ vektorokból áll, amelyekre az $A \cdot \underline{x} = \underline{y}$ egyenletrendszer megoldható.

A 2.5.14. Tétel szerint ez pontosan akkor teljesül, ha $\underline{y} \in \langle \underline{a}_1, \underline{a}_2, \dots, \underline{a}_n \rangle$, ahol az $\underline{a}_i$ vektorok a mátrix oszlopai.

Mivel a képtér nem más, mint a mátrix oszlopai által generált altér, a 2.2.8. Tétel értelmében a képtér is szükségszerűen altér. □

15.3. A dimenziótétel

A dimenziótétel a lineáris leképezések szerkezetének alapvető mérlege. Kimondja, hogy egy leképezés kiindulási terének dimenziója pontosan szétoszlik a magtér és a képtér dimenziói között.

2.8.9. Tétel (Dimenziótétel)

Ha $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ lineáris leképezés, akkor teljesül az alábbi összefüggés:

$\dim \text{Ker } f + \dim \text{Im } f = n$

Ahol n a kiindulási vektortér dimenziója (a változók száma). Ez a tétel biztosítja, hogy ha ismerjük a magtér dimenzióját, abból rögtön következtethetünk a képtér „méretére”, és fordítva.

Geometriai szemlélet

Képzeljük el, hogy egy 3D-s objektumot ($n=3$) egy síkra vetítünk. Ha a vetítés során egy egész egyenes pontjai a nullvektorba kerülnek ($\dim \text{Ker } f = 1$), akkor a kép egy 2 dimenziós sík lesz ($\dim \text{Im } f = 2$). Az összeg: $1 + 2 = 3$.

Rang és dimenzió

Mivel a képtér dimenziója megegyezik a leképezés mátrixának rangjával ($\dim \text{Im } f = r(A)$), a tétel így is felírható:
$\dim \text{Ker } f + r(A) = n$.

Levezetett példafeladat

Feladat:

Adott egy $f: \mathbb{R}^5 \to \mathbb{R}^3$ lineáris leképezés. Tudjuk, hogy a magtér dimenziója 2. Mekkora a képtér dimenziója?

Megoldás a Dimenziótétel alapján:

1. Azonosítsuk az n értéket: Mivel a leképezés $\mathbb{R}^5$-ből indul, $n = 5$.

2. Alkalmazzuk a képletet: $\dim \text{Ker } f + \dim \text{Im } f = n$

$2 + \dim \text{Im } f = 5$

Végeredmény

$\dim \text{Im } f = 3$

Ez azt jelenti, hogy a leképezés „kitölti” a teljes érkezési ($\mathbb{R}^3$) teret.

Strukturális Analizátor ($2 \times 2$ mátrixszal)

Állítsd be a leképezés mátrixát, és nézd meg a tereinek dimenzióját!

Magtér dimenziója: 1
Képtér dimenziója (Rang): 1
Dimenziótétel: 1 + 1 = 2 (V dimenziója)