BSz1 Jegyzet

12. Tétel:

Mátrix inverze, létezésének szükséges és elégséges feltétele, az inverz kiszámítása. Lineáris transzformációk invertálhatósága.

12.1. Az inverz mátrix fogalma

A valós számok körében minden nem-nulla számnak létezik reciproka ($a \cdot \frac{1}{a} = 1$). A mátrixok világában ezt a szerepet az inverz mátrix tölti be az egységmátrixszal összefüggésben.

2.6.1. Definíció Egy $(n \times n)$-es $A$ mátrix inverzének nevezzük azt az $(n \times n)$-es $X$ mátrixot, amelyre teljesül: $$A \cdot X = E = X \cdot A$$ Ennek jele: $X = A^{-1}$.

12.2. Létezés és egyértelműség

2.6.2. Tétel Az $(n \times n)$-es $A$ mátrixnak akkor és csak akkor létezik inverze, ha: $$\det A \neq 0$$ Ha $A^{-1}$ létezik, akkor az egyértelmű.

A tétel bizonyítása

I. Szükségesség ($\implies$):

Tegyük fel, hogy létezik $A^{-1}$ úgy, hogy $A \cdot A^{-1} = E$. Alkalmazzuk a determinánsok szorzástételét:

$$\det(A \cdot A^{-1}) = \det E$$ $$(\det A) \cdot (\det A^{-1}) = 1$$

Mivel két valós szám szorzata csak akkor lehet 1, ha egyikük sem nulla, ebből következik, hogy $\det A \neq 0$.

II. Elégségesség ($\impliedby$):

Tegyük fel, hogy $\det A \neq 0$. Keressük azt az $X$ mátrixot, amelyre $AX = E$. Bontsuk fel az $X$ mátrixot és az $E$ egységmátrixot oszlopvektoraikra:

$A \underline{x}_1 = \underline{e}_1, \quad A \underline{x}_2 = \underline{e}_2, \quad \dots, \quad A \underline{x}_n = \underline{e}_n$

Mivel $\det A \neq 0$, a 2.4.11. tétel (determináns és egyenletrendszerek) alapján minden egyes oszlopra vonatkozó egyenletrendszernek létezik egyértelmű megoldása. Ezek az $\underline{x}_i$ oszlopok alkotják az $X$ mátrixot.

Az egyértelműség és $XA=E$ igazolása

A táblai levezetés alapján, ha $AX=E$, akkor $\det A \cdot \det X = 1$, tehát $\det X \neq 0$. Ekkor létezik egy egyértelmű $Y$ mátrix, amelyre $XY=E$. Az asszociativitást kihasználva:

$(AX)Y = A(XY) \implies EY = AE \implies Y = A$

Mivel $Y=A$ és $XY=E$, ezért $XA=E$ is teljesül. □

12.3. Az inverz mátrix kiszámítása

Egy nem nulla determinánsú $(n \times n)$-es $A$ mátrix inverzét $n$ darab lineáris egyenletrendszer szimultán megoldásával kaphatjuk meg. Erre a leghatékonyabb eljárás a Gauss-Jordan elimináció.

A számítás algoritmusa A folyamat során az eredeti mátrixot és az egységmátrixot egymás mellé írjuk, majd sorekvivalens átalakításokkal a bal oldalt egységmátrixszá transzformáljuk. Írjuk fel az $(A | E)$ kibővített mátrixot. Végezzünk sorekvivalens lépéseket a teljes blokkon. Az eliminációt addig folytassuk, amíg az $A$ helyén az egységmátrix nem jelenik meg. Ekkor a vonaltól jobbra eső részen automatikusan megjelenik az $A^{-1}$ mátrix.

Levezetett példa: $2 \times 2$-es inverz

Feladat:

Számítsa ki az $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ mátrix inverzét!

1. Kibővített blokk felírása:

$(A|E) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 3 & 7 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Elimináció:

$S_2 - 3 \cdot S_1$ művelet után:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{1} & | & -3 & 1 \end{pmatrix}$

$S_1 - 2 \cdot S_2$ művelet után:

$\begin{pmatrix} \mathbf{1} & 0 & | & \mathbf{7} & \mathbf{-2} \\ 0 & 1 & | & \mathbf{-3} & \mathbf{1} \end{pmatrix}$

Eredmény

A bal oldalon megjelent az egységmátrix, így jobbra az inverz látható:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

12. Tétel: Mátrix Inverz Analizátor

Gauss–Jordan-módszer: [A | I] -> [I | A⁻¹] levezetése

3x3-as alapmátrix (A)

12.4. Lineáris transzformációk inverze

Egy tetszőleges $f: A \to B$ függvény akkor invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű, azaz különböző elemekhez különböző képeket rendel. Mivel minden $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lineáris transzformáció leírható egy $[f] = A$ mátrixszal való szorzásként, az invertálhatóság szorosan összefügg az inverz mátrix létezésével.

2.8.11. Tétel Egy $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lineáris transzformáció akkor és csak akkor invertálható, ha: $\det[f] \neq 0$ Ha ez a feltétel teljesül, akkor az inverz transzformáció mátrixa megegyezik az eredeti transzformáció mátrixának inverzével: $[f^{-1}] = [f]^{-1}$

A tétel részletes bizonyítása:

1. Szükségesség (Ha invertálható, akkor $\det A \neq 0$):

Tegyük fel indirekt módon, hogy $\det A = 0$. A 2.5.16. Tétel szerint ekkor $A$ oszlopai lineárisan összefüggők. Ez azt jelenti, hogy az $A \cdot \underline{x} = \underline{0}$ homogén rendszernek létezik egy nem nulla $\underline{x}^* \neq \underline{0}$ megoldása.

Mivel $f(\underline{x}^*) = A \cdot \underline{x}^* = \underline{0}$ és $f(\underline{0}) = A \cdot \underline{0} = \underline{0}$, két különböző bemenethez ($\underline{x}^*$ és $\underline{0}$) ugyanaz a kép tartozik. Ez ellentmond az invertálhatóság alapfeltételének, tehát $\det A$ nem lehet nulla.

2. Elégségesség (Ha $\det A \neq 0$, akkor invertálható):

Ha $\det A \neq 0$, akkor a 2.6.2. Tétel szerint létezik az $A^{-1}$ inverz mátrix. Legyen $f(\underline{x}) = \underline{y}$, ami azt jelenti, hogy $\underline{y} = A \cdot \underline{x}$.

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát balról $A^{-1}$-zel, és használjuk a mátrixszorzás asszociativitását (2.5.8. Tétel):

$A^{-1} \cdot \underline{y} = A^{-1} \cdot (A \cdot \underline{x}) = (A^{-1} \cdot A) \cdot \underline{x} = E \cdot \underline{x} = \underline{x}$

Ez azt bizonyítja, hogy az $\underline{y} \mapsto A^{-1} \cdot \underline{y}$ hozzárendelés pontosan az $f$ inverz függvénye, tehát $f$ invertálható és $[f^{-1}] = A^{-1}$. □